Der mathematische Satz von Gauß-Lucas gibt eine Beziehung zwischen den Nullstellen eines Polynoms und dessen Ableitung an. Die Menge der Nullstellen eines Polynoms ist eine Menge von Punkten in der komplexen Ebene. Der Satz zeigt, dass die Nullstellen der Ableitung in der konvexen Hülle der Nullstellen von liegen. Der Satz von Gauß-Lucas ist nach Carl Friedrich Gauß und Félix Lucas benannt.

Sei eine nicht-konstante Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten und sei die Ableitung von . Dann liegen alle Nullstellen von in der konvexen Hülle der Nullstellen von .

Der Satz wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß 1836 niedergeschrieben,^[1] jedoch erst 1879 von Félix Lucas bewiesen.^[2]

Die Nullstellen von liegen sogar in der konvexen Hülle der Punkte

mit und , wobei die Nullstellen von sind.^[3]

Wenn eine nicht-konstante Polynomfunktion mit reellen Koeffizienten ist, dann liegen alle nicht-reellen Nullstellen der Ableitung innerhalb der Jensen-Scheiben,^[4] die durch alle Paare von komplex konjugierten Nullstellen von bestimmt sind.^[5] Diese Verschärfung des Satzes von Gauß-Lucas wurde 1913 von Johan Ludwig Jensen formuliert und 1920 von Joseph L. Walsh erstmals bewiesen.^[6][7]

1. ↑ C. F. Gauß: Werke, Band 3, Göttingen 1866, S. 120:112
2. ↑ F. Lucas: Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations. in: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences (89), Paris 1979, S. 224–226
3. ↑ W. Specht: Eine Bemerkung zum Satze von Gauß-Lucas, in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (62), 1959, S. 85–92
4. ↑ Eric W. Weisstein: Jensen Disk. In: MathWorld (englisch).
5. ↑ Eric W. Weisstein: Jensen's Theorem. In: MathWorld (englisch).
6. ↑ J. L. Walsh: On the Location of the Roots of the Derivative of a Polynomial. Annals of Mathematics, Second Series, vol. 22, no. 2, Mathematics Department, Princeton University, 1920, pp. 128–144, doi:10.2307/1967860
7. ↑ E. B. Van Vleck: On the location of roots of polynomials and entire functions. Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 35, no. 5, American Mathematical Society, 1929, pp. 643–683, doi:10.1090/S0002-9904-1929-04794-3

• Satz von Marden

• Craig Smorynski: MVT: A Most Valuable Theorem. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-52956-1, S. 411–414

Commons: Satz von Gauß-Lucas – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Lucas–Gauss Theorem von Bruce Torrence, des Wolfram Demonstrations Projects.
• Satz von Gauss-Lucas interaktiv