Motzkin-Zahl

In der Mathematik ist die $n$ -te Motzkin-Zahl die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, sich nicht schneidende Sehnen zwischen $n$ Punkten eines Kreises zu zeichnen. Dabei wird nicht notwendigerweise jeder Punkt durch eine Sehne berührt.

Die Motzkin-Zahlen wurden nach dem US-amerikanischen Mathematiker Theodore Motzkin benannt^[1] und haben vielfältige Anwendungen in der Geometrie, der Kombinatorik und der Zahlentheorie.

Beispiele

Wenn man auf einem Kreis $n=4$ Punkte einzeichnet, gibt es insgesamt 9 Möglichkeiten, durch diese vier Punkte sich nicht schneidende Kreissehnen zu zeichnen:

Somit ist die vierte Motzkin-Zahl

M_{4}=9

.

Wenn man auf einem Kreis $n=5$ Punkte einzeichnet, gibt es insgesamt 21 Möglichkeiten, durch diese fünf Punkte nicht schneidende Kreissehnen zu zeichnen:

Somit ist die fünfte Motzkin-Zahl

M_{5}=21

.

Eine andere Interpretation der Motzkin-Zahlen liefert die folgende Grafik anhand der vierten Motzkin-Zahl $M_{4}=9$ . Man starte beim Punkt mit den Koordinaten $(0|0)$ (also links unten) und suche so viele Wege wie möglich, um zum Punkt mit den Koordinaten $(4|0)$ (also rechts unten) zu gelangen. Dabei darf man nur nach rechts, nach rechts oben oder nach rechts unten gehen, niemals darf man unter die x-Achse (also die unterste Linie). Es gibt 9 Möglichkeiten:

Es gibt somit insgesamt 9 Möglichkeiten, um von links nach rechts zu gelangen, womit die vierte Motzkin-Zahl

M_{4}=9

ist.

Man starte nun bei $(0|0)$ (also links unten) und suche so viele Wege wie möglich, um zu $(5|0)$ (also rechts unten) zu gelangen. Dabei darf man nur wie im obigen Beispiel vorgehen. Es gibt 21 Möglichkeiten:

Es gibt somit insgesamt 21 Möglichkeiten, um von links nach rechts zu gelangen, womit die fünfte Motzkin-Zahl

M_{5}=21

ist.

Generell erhält man die

n

-te Motzkin-Zahl, wenn man mit dieser Methode die Anzahl der Wege in einem Koordinatensystem von

(0|0)

nach

(n|0)

sucht.

Robert Donaghey und Louis W. Shapiro gaben im Jahr 1977 insgesamt 14 Möglichkeiten an, Motzkin-Zahlen grafisch darzustellen.^[2]

Die folgenden Zahlen sind die kleinsten Motzkin-Zahlen $M_{n}$ für $n=0,1,2,\dotsc$ :

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, … (Folge A001006 in OEIS)

Motzkin-Primzahlen

Eine Motzkin-Primzahl ist eine Motzkin-Zahl, die prim ist. Die folgenden Zahlen sind die kleinsten Motzkin-Primzahlen:

2, 127, 15511, 953467954114363 (Folge A092832 in OEIS)

Mehr Motzkin-Primzahlen sind nicht bekannt (Stand: 23. März 2020).

Die dazugehörigen Motzkin-Zahl-Indizes sind die folgenden:

2, 7, 12, 36 (Folge A092831 in OEIS)

Der nächste Index muss größer als

10^{5}

sein (Stand: 17. Oktober 2016).^[3]

Eigenschaften

Die $n$ -te Motzkin-Zahl kann man wie folgt rekursiv aus vorhergehenden Motzkin-Zahlen berechnen:^[4]

M_{n}=M_{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}M_{i}M_{n-2-i}={\frac {2n+1}{n+2}}\cdot M_{n-1}+{\frac {3n-3}{n+2}}\cdot M_{n-2}

Die $n$ -te Motzkin-Zahl kann man durch Binomialkoeffizienten darstellen:^[5]

M_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}\cdot C_{k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {{\binom {n}{2k}}{\binom {2k}{k}}}{k+1}}

Dabei ist

\textstyle \lfloor \cdot \rfloor

die Abrundungsfunktion, also

\textstyle \lfloor n/2\rfloor ={\begin{cases}n/2,&{\text{für gerades }}n\\(n-1)/2&{\text{für ungerades }}n\end{cases}}

die größte ganze Zahl, die nicht größer als

n/2

ist, und

\textstyle C_{k}={\frac {1}{k+1}}{\binom {2k}{k}}

die

k

-te Catalan-Zahl.

Die erzeugende Funktion $\textstyle m(x)=\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}x^{n}$ von Motzkin-Zahlen erfüllt die folgende Gleichung:^[4]

x^{2}\cdot m(x)^{2}+(x-1)\cdot m(x)+1=0

Siehe auch

Schröder-Zahlen

Literatur

Frank R. Bernhart: Catalan, Motzkin, and Riordan numbers. In: Discrete Mathematics. Band 204, Nr. 1–3, Juni 1999, S. 73–112, doi:10.1016/S0012-365X(99)00054-0 (Volltext als PDF auf uniud.it).
Olivier Guibert, Elisa Pergola, Renzo Pinzani: Vexillary Involutions are Enumerated by Motzkin Numbers. In: Annals of Combinatorics. Band 5, Nr. 2, September 2001, S. 153–174, doi:10.1007/PL00001297 (Zusammenfassung als PDF auf psu.edu).
Roy Oste, Joris Van der Jeugt: Motzkin paths, Motzkin polynomials and recurrence relations. In: The Electronic Journal of Combinatorics. Band 22, Nr. 2, 21. April 2015, S. 1–19, doi:10.37236/4781 (researchgate.net).

Weblinks

Eric W. Weisstein: Motzkin Number. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

↑ Theodore Motzkin: Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 54, Nr. 4, 1948, S. 352–360, doi:10.1090/S0002-9904-1948-09002-4 (Volltext als PDF auf ams.org).
↑ Robert Donaghey, Louis W. Shapiro: Motzkin numbers. In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Band 23, Nr. 3, November 1977, S. 291–301, doi:10.1016/0097-3165(77)90020-6 (sciencedirect.com).
↑ Comments zu OEIS A092831
↑ ^a ^b Eric W. Weisstein: Motzkin Number. In: MathWorld (englisch).
↑ Jiao-Lian Zhao, Feng Qi: Two explicit formulas for the generalized Motzkin numbers. In: Journal of Inequalities and Applications. Band 2017, 2017, 44, doi:10.1186/s13660-017-1313-3 (researchgate.net).

[Motzkin-1] Theodore Motzkin: Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 54, Nr. 4, 1948, S. 352–360, doi:10.1090/S0002-9904-1948-09002-4 (Volltext als PDF auf ams.org).

[Donaghey-2] Robert Donaghey, Louis W. Shapiro: Motzkin numbers. In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Band 23, Nr. 3, November 1977, S. 291–301, doi:10.1016/0097-3165(77)90020-6 (sciencedirect.com).

[3] Comments zu OEIS A092831

[Mathworld-4] Eric W. Weisstein: Motzkin Number. In: MathWorld (englisch).

[Zhao-5] Jiao-Lian Zhao, Feng Qi: Two explicit formulas for the generalized Motzkin numbers. In: Journal of Inequalities and Applications. Band 2017, 2017, 44, doi:10.1186/s13660-017-1313-3 (researchgate.net).

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