Laplace-Verteilung

Die Laplace-Verteilung (benannt nach Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker und Astronomen) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da sie die Form zweier aneinandergefügter Exponentialverteilungen hat, wird sie auch als Doppelexponentialverteilung oder zweiseitige Exponentialverteilung^[1] bezeichnet.

Definition

Eine stetige Zufallsgröße $X$ unterliegt der Laplace-Verteilung mit dem Lageparameter $\mu \in \mathbb {R}$ und dem Skalenparameter $\sigma >0$ , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x)={\frac {1}{2\sigma }}e^{\displaystyle -{\frac {\left|x-\mu \right|}{\sigma }}}

besitzt.

Ihre Verteilungsfunktion lautet

F(x)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over 2}e^{\displaystyle {\frac {x-\mu }{\sigma }}},&x\leq \mu \\\displaystyle 1-{1 \over 2}e^{\displaystyle -{\frac {x-\mu }{\sigma }}}&x>\mu \end{cases}}

Mittels der Signum-Funktion lässt sie sich geschlossen darstellen als

F(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn} \left(x-\mu \right)\left(1-\exp \left(-{\frac {\left|x-\mu \right|}{\sigma }}\right)\right)

.

Eigenschaften

Symmetrie

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist achsensymmetrisch zur Geraden $x=\mu$ und die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt $(\mu ,1/2)$ .

Erwartungswert, Median, Modalwert

Der Parameter $\mu$ ist gleichzeitig Erwartungswert, Median und Modalwert.

\operatorname {E} (X)=\mu

Varianz

Die Varianz wird durch den Parameter $\sigma$ bestimmt.

\operatorname {Var} (X)=2\sigma ^{2}

Schiefe

Die Schiefe der Laplace-Verteilung ist

\operatorname {v} (X)=0

.

Kurtosis

Die Wölbung einer Laplace-Verteilung ist identisch 6 (entspricht einem Exzess von 3).

\operatorname {Kurt} (X)=6

Kumulanten

Alle Kumulante $\kappa _{k}$ mit ungeradem Grad $k>2$ sind gleich Null. Für gerade $k$ gilt

\kappa _{k}=2(k-1)!\sigma ^{k}

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion eine Laplace-verteilten Zufallsgröße mit Parametern $\mu$ und $\sigma$ lautet

M_{X}(t)={\frac {e^{\mu t}}{1-\sigma ^{2}t^{2}}}

, für

|t|<1/\sigma .

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion entsteht aus der momenterzeugenden Funktion, indem man das Argument $t$ durch $is$ ersetzt, man erhält:

\phi _{X}(s)={\frac {e^{i\mu s}}{1+\sigma ^{2}s^{2}}}

.

Entropie

Die Entropie der Laplace-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

1+\ln(2\sigma )

.

Zufallszahlen

Zur Erzeugung doppelexponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion lautet hierbei

F^{-1}(y)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over \lambda }\ln(2y)&y<{1 \over 2}\\\displaystyle -{1 \over \lambda }\ln(2(1-y)),&y\geq {1 \over 2}\end{cases}}

.

Zu einer Folge von Standardzufallszahlen $u_{i}$ lässt sich daher eine Folge

x_{i}:=F^{-1}(u_{i})

doppelexponentialverteilter Zufallszahlen berechnen.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Normalverteilung

Sind $X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ unabhängige standardnormalverteilte Zufallsgrößen, dann ist $Z=\det {\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}=X_{1}\,X_{4}-X_{2}\,X_{3}$ standardlaplaceverteilt ( $\mu =0$ ).

Beziehung zur Exponentialverteilung

Eine Zufallsvariable $X:=Y_{\lambda }-Z_{\lambda }$ , die als Differenz zweier unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen $Y_{\lambda }$ und $Z_{\lambda }$ mit demselben Parameter definiert ist, ist Laplace-verteilt.^[2]

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Ist $X$ Rademacher-Verteilt, und ist $Y$ Exponentialverteilt zum Parameter $\lambda$ , so ist $X\cdot Y$ Laplace-Verteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparametern ${\frac {1}{\lambda }}$ .

Abgrenzung zur stetigen Gleichverteilung

Die so definierte stetige Laplaceverteilung hat nichts mit der stetigen Gleichverteilung zu tun. Sie wird mit ihr trotzdem gerne verwechselt, weil die diskrete Gleichverteilung nach Laplace benannt ist (Laplacewürfel)

Quellen

↑ Georgii: Stochastik. 2009, S. 225.
↑ Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 1972, S. 930

[1] Georgii: Stochastik. 2009, S. 225.

[2] Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 1972, S. 930

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