Kynea-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Kynea-Zahl eine ganze Zahl der Form $(2^{n}+1)^{2}-2$ , oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form $2^{2n}+2^{n+1}-1$ mit $n\geq 1$ . Sie wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einem Baby, Kynéa R. Griffith, benannt hat.^[1]^[2]

Beispiele

Die ersten Kynea-Zahlen sind die folgenden:

7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, 67125247, 268468223, 1073807359, 4295098367, 17180131327, 68720001023, 274878955519, 1099513724927, 4398050705407, 17592194433023, 70368760954879, 281475010265087, 1125899973951487, … (Folge A093069 in OEIS)

Die ersten primen Kynea-Zahlen sind die folgenden

(die

2

ist in der Liste wegen

n\geq 1

nicht enthalten, hätte aber ebenfalls die Form

(2^{n}+1)^{2}-2=(2^{0}+1)^{2}-2=4-2=2

):

7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, 1073807359, 17180131327, 68720001023, 4398050705407, 70368760954879, 18014398777917439, 18446744082299486207, 5070602400912922109586440191999, … (Folge A091514 in OEIS)

Man nennt sie Kynea-Primzahlen.

Die größte bekannte Kynea-Primzahl ist $(2^{661478}+1)^{2}-2$ und hat $398250$ Stellen.^[3] Sie wurde von Mark Rodenkirch im Juni 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 50. Kynea-Primzahl.^[4]

Eigenschaften

Jede Kynea-Zahl der Form $(2^{n}+1)^{2}-2$ hat eine binäre Darstellung, welche $2n+1$ Stellen lang ist, mit einem Einser beginnt, danach $n-1$ Nullen in der Mitte hat und mit weiteren $n+1$ Einsern endet. Mit anderen Worten:

(2^{n}+1)^{2}-2=4^{n}+\sum _{i=0}^{n}2^{i}

Beispiel:

287=(2^{4}+1)^{2}-2={\underline {1}}\cdot 2^{8}+{\underline {0}}\cdot 2^{7}+{\underline {0}}\cdot 2^{6}+{\underline {0}}\cdot 2^{5}+{\underline {1}}\cdot 2^{4}+{\underline {1}}\cdot 2^{3}+{\underline {1}}\cdot 2^{2}+{\underline {1}}\cdot 2^{1}+{\underline {1}}\cdot 2^{0}=100011111_{2}

Die Differenz zwischen der $n$ -ten Kynea-Zahl und der $n$ -ten Carol-Zahl $(2^{n}-1)^{2}-2$ beträgt $2^{n+2}$ .
Wenn man mit der Kynea-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Kynea-Zahl ein Vielfaches von $7$ .

Beispiel:

16639=(2^{7}+1)^{2}-2

ist die sechste Carol-Zahl nach

7

und tatsächlich ist

16639=2377\cdot 7

ein Vielfaches von

7

.

Eine Kynea-Zahl $(2^{n}+1)^{2}-2$ mit $n=3k+1$ für $k>0$ kann keine Primzahl sein.

(folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)

Eine Kynea-Zahl $(2^{n}+1)^{2}-2$ ist die Summe einer $n$ -ten Potenz von 4 und der $(n+1)$ -ten Mersenne-Zahl.

Verallgemeinerungen

Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form $(b^{n}+1)^{2}-2$ mit $n\geq 1$ und einer Basis $b\geq 2$ .

Eigenschaften

Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis $b$ kann nur dann eine Primzahl sein, wenn $b$ eine gerade Zahl ist.

(Wenn

b

eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz

b^{n}

ungerade. Addiert man

1

dazu, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man

2

ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim. Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)

Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit einer ungeraden Basis $b$ ist immer eine gerade Zahl.
Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis $b^{n}$ ist auch eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis $b$ .
Die kleinsten $n\geq 1$ , sodass $((2k)^{n}+1)^{2}-2$ prim ist (Basis $b=2k$ ), sind die folgenden (für $k=1,2,3,4,\ldots ,100$ ):

1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, …

Beispiel:

Für

k=11

kann man der obigen Liste an der 11. Stelle die Zahl

n=3

entnehmen.

Tatsächlich ist

((2\cdot 11)^{3}+1)^{2}-2=113401199\in \mathbb {P}

eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Kynea-Primzahlen mit Basis $b$ entnehmen kann:^[5]

$b$	Form	Potenzen $n\geq 1$ , sodass verallgemeinerte Kynea-Zahlen mit Basis $b$ , also der Form $(b^{n}+1)^{2}-2$ prim sind	OEIS-Folge
$2$	$(2^{n}-1)^{2}-2$	1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, 852770, …	(Folge A091513 in OEIS)
$4$	$(4^{n}-1)^{2}-2$	1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, 426385, …
$6$	$(6^{n}-1)^{2}-2$	1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, …	(Folge A100902 in OEIS)
$8$	$(8^{n}-1)^{2}-2$	1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, …
$10$	$(10^{n}-1)^{2}-2$	22, 351, 1061, …	(Folge A100904 in OEIS)
$12$	$(12^{n}-1)^{2}-2$	1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, …
$14$	$(14^{n}-1)^{2}-2$	1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, …	(Folge A100906 in OEIS)
$16$	$(16^{n}-1)^{2}-2$	2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, …
$18$	$(18^{n}-1)^{2}-2$	1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, 82516, …
$20$	$(20^{n}-1)^{2}-2$	1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, 92990, …
$22$	$(22^{n}-1)^{2}-2$	3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, 42356, 52147, 82020, …	(Folge A100908 in OEIS)
$24$	$(24^{n}-1)^{2}-2$	24, 321, 971, 984, …
$26$	$(26^{n}-1)^{2}-2$	1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, …
$28$	$(28^{n}-1)^{2}-2$	1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, 80543, …
$30$	$(30^{n}-1)^{2}-2$	2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, …
$32$	$(32^{n}-1)^{2}-2$	1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, 170554, …
$34$	$(34^{n}-1)^{2}-2$	1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, …
$36$	$(36^{n}-1)^{2}-2$	1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, …
$38$	$(38^{n}-1)^{2}-2$	6, 279, 3490, …
$40$	$(40^{n}-1)^{2}-2$	2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, …
$42$	$(42^{n}-1)^{2}-2$	1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, …
$44$	$(44^{n}-1)^{2}-2$	3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, …
$46$	$(46^{n}-1)^{2}-2$	1, 54, 2040, 3063, …
$48$	$(48^{n}-1)^{2}-2$	1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, …
$50$	$(50^{n}-1)^{2}-2$	4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, …

Die größte bekannte verallgemeinerte Kynea-Primzahl ist $(30^{157950}+1)^{2}-2$ und hat $466623$ Stellen.^[6] Sie wurde von Serge Batalov am 22. Mai 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die achte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.^[4]

Weitere Verallgemeinerungen

Eine positive ganze Zahl der Form $(2^{n}+1)^{3}-2$ nennt man Big-Ears-Zahl (Big-Ears number).^[7]

Die kleinsten primen Big-Ears-Zahlen, sogenannte Big-Ears-Primzahlen, sind die folgenden:

3, 7, 11, 15, 35, 16475, 26827, 79127, 85075, … (Folge A0100900 in OEIS)

Siehe auch

Carol-Zahl

Weblinks

Eric W. Weisstein: Near-Square Prime. In: MathWorld (englisch).
Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search.
Carol- und Kynea-Primzahlen

Einzelnachweise

↑ Cletus Emmanuel auf Prime Pages
↑ Cletus Emmanuel: Message to Yahoo primenumbers group@1@2Vorlage:Toter Link/groups.yahoo.com (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im März 2022. Suche in Webarchiven)
↑ (2⁶⁶¹⁴⁷⁸+1)²-2 auf The Lagest Known Primes!
↑ ^a ^b Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search
↑ Prime Wiki: Carol-Kynea table
↑ (30¹⁵⁷⁹⁵⁰+1)²-2 auf The Lagest Known Primes!
↑ Carol- und Kynea-Primzahlen

[1] Cletus Emmanuel auf Prime Pages

[2] Cletus Emmanuel: Message to Yahoo primenumbers group@1@2Vorlage:Toter Link/groups.yahoo.com (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im März 2022. Suche in Webarchiven)

[3] (2⁶⁶¹⁴⁷⁸+1)²-2 auf The Lagest Known Primes!

[Rekorde-4] Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search

[5] Prime Wiki: Carol-Kynea table

[6] (30¹⁵⁷⁹⁵⁰+1)²-2 auf The Lagest Known Primes!

[BigEars-7] Carol- und Kynea-Primzahlen

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

formelbasiert	Carol ((2ⁿ − 1)² − 2) \| Doppelte Mersenne (2^{2^p − 1} − 1) \| Fakultät (n! ± 1) \| Fermat (2^2ⁿ + 1) \| Kubisch (x³ − y³)/(x − y) \| Kynea ((2ⁿ + 1)² − 2) \| Leyland (x^y + y^x) \| Mersenne (2^p − 1) \| Mills (A^3ⁿ) \| Pierpont (2^u⋅3^v + 1) \| Primorial (p_n# ± 1) \| Proth (k⋅2ⁿ + 1) \| Pythagoreisch (4n + 1) \| Quartisch (x⁴ + y⁴) \| Thabit (3⋅2ⁿ − 1) \| Wagstaff ((2^p + 1)/3) \| Williams ((b-1)⋅bⁿ − 1) \| Woodall (n⋅2ⁿ − 1)
Primzahlfolgen	Bell \| Fibonacci \| Lucas \| Motzkin \| Pell \| Perrin
eigenschaftsbasiert	Elitär \| Fortunate \| Gut \| Glücklich \| Higgs \| Hochkototient \| Isoliert \| Pillai \| Ramanujan \| Regulär \| Stark \| Stern \| Wall–Sun–Sun \| Wieferich \| Wilson
basisabhängig	Belphegor \| Champernowne \| Dihedral \| Einzigartig \| Fröhlich \| Keith \| Lange \| Minimal \| Mirp \| Permutierbar \| Primeval \| Palindrom \| Repunit-Primzahl ((10ⁿ − 1)/9) \| Schwach \| Smarandache–Wellin \| Strobogrammatisch \| Tetradisch \| Trunkierbar \| Zirkular
basierend auf Tupel	Ausbalanciert (p − n, p, p + n) \| Chen \| Cousin (p, p + 4) \| Cunningham (p, 2p ± 1, …) \| Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) \| Konstellation \| Sexy (p, p + 6) \| Sichere (p, (p − 1)/2) \| Sophie Germain (p, 2p + 1) \| Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) \| Zwilling (p, p + 2) \| Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)
nach Größe	Titanisch (1.000+ Stellen) \| Gigantisch (10.000+ Stellen) \| Mega (1.000.000+ Stellen) \| Beva (1.000.000.000+ Stellen)

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Kynea-Zahl

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Siehe auch

Weblinks

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