Inverse Normalverteilung

Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift $v>0$ und Streuungskoeffizient $\lambda >0$ ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus $a>0$ invers normalverteilt mit den Parametern $\left({\frac {a}{v}},{\frac {a^{2}}{\lambda ^{2}}}\right)$ . Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern $\lambda >0$ (Ereignisrate) und $\mu >0$ (Erwartungswert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)={\begin{cases}\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$ besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

\operatorname {E} (X)=\mu

.

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

\operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}

.

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

\sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}

.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

\operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}

.

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

\beta _{2}={\frac {15\mu }{\lambda }}+3

.

Die Exzess-Kurtosis ist

\gamma _{2}=\beta _{2}-3={\frac {15\mu }{\lambda }}

.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}

.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}

.

Reproduzierbarkeit

Sind $X_{1},\dots ,X_{n}$ Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern $\lambda$ und $\mu$ , dann ist die Größe ${\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern $n\lambda$ und $\mu$ .

Weblinks

Eric W. Weisstein: Inverse Gaussian Distribution. In: MathWorld (englisch).

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