Hölder-Ungleichung

In der mathematischen Analysis gehört die Höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für L^p-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte^[1].

Aussage

Höldersche Ungleichung

Gegeben sei ein Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ und messbare Funktionen

f,g\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}

Für $p\in [1,\infty )$ und mit der Konvention $\infty ^{p}=\infty ^{\frac {1}{p}}=\infty$ definiert man

H_{p}(f)=\left(\int _{X}|f|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{\tfrac {1}{p}}

und

H_{\infty }(f)=\mathrm {ess} \sup _{x\in X}|f(x)|

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für $1\leq p,q\leq \infty$ mit ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ , wobei ${\tfrac {1}{\infty }}=0$ vereinbart ist, gilt

H_{1}(fg)\leq H_{p}(f)\cdot H_{q}(g)

Man bezeichnet $q$ als den zu $p$ konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist ${\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ der Raum der $p$ -fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist $\|\cdot \|_{p}$ die Lp-Norm, so gilt für $f\in {\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ),g\in {\mathcal {L}}^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ immer

\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}

.

Spezialfälle

Schwarzsche Ungleichung

Wählt man als Maßraum $([a,b],{\mathcal {B}}([a,b]),\lambda )$ , also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen $f,g\in {\mathcal {L}}^{2}([a,b],{\mathcal {B}}([a,b]),\lambda )$ , so lautet die Hölder-Ungleichung mit $p=q=2$

\int _{a}^{b}|fg|\mathrm {d} \lambda \leq \left(\int _{a}^{b}|f|^{2}\mathrm {d} \lambda \right)^{\tfrac {1}{2}}\cdot \left(\int _{a}^{b}|g|^{2}\mathrm {d} \lambda \right)^{\tfrac {1}{2}}

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Cauchy-Ungleichung

Wählt man als Maßraum die endliche Menge $\{1,\ldots ,n\}$ , versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q},

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen $x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}$ . Für $p=q=2$ erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{2}\cdot \|y\|_{2}

Höldersche Ungleichung für Reihen

Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ , wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen

\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|b_{k}|^{q}\right)^{1/q}

.

für reelle oder komplexe Folgen $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} },(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ . Im Grenzfall $q=\infty$ entspricht dies

\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|\right)\cdot \sup _{k\in \mathbb {N} }|b_{k}|

.

Verallgemeinerung

Es seien $p_{j}\in [1,\infty ],j=1,\ldots ,m$ sowie $\textstyle {\frac {1}{r}}:=\sum _{j=1}^{m}{\frac {1}{p_{j}}}$ und $f_{j}\in L^{p_{j}}(S)$ für alle $j=1,\ldots ,m$ .

Dann folgt

\prod _{j=1}^{m}f_{j}\in L^{r}(S)

und es gilt die Abschätzung

\left\|\prod _{j=1}^{m}f_{j}\right\|_{r}\leq \prod _{j=1}^{m}\left\|f_{j}\right\|_{p_{j}}.

Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz.

Falls $(a_{i,j})_{i\in \{1,2,\dots ,n\},j\in \{1,2,\dots ,m\}}$ eine Familie von $m$ Folgen nicht-negativer reeller Zahlen ist, und $(\lambda _{j})_{j\in \{1,\dots ,m\}}$ nicht-negative reelle Zahlen mit $\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}=1$ sind, so gilt

\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{i,j}^{\lambda _{j}}\leq \prod _{j=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\right)^{\lambda _{j}}.

Umgekehrte Höldersche Ungleichung

Es sei $g(x)\neq 0$ für fast alle $x\in S$ .

Dann gilt für alle $r>1$ die umgekehrte Höldersche Ungleichung

\int _{S}|f(x)g(x)|dx\geq \left(\int _{S}|f(x)|^{\frac {1}{r}}dx\right)^{r}\left(\int _{S}|g(x)|^{-{\frac {1}{r-1}}}dx\right)^{-(r-1)}.

Beweise

Beweis der Hölderschen Ungleichung

Für $p=1,q=\infty$ (und umgekehrt) ist die Aussage der Hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass $1<p,q<\infty$ gilt. Ohne Einschränkung seien $\|f\|_{p}>0$ und $\|g\|_{q}>0$ . Nach der youngschen Ungleichung gilt:

AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}

für alle $A,B\geq 0$ . Setze hierin speziell $A:={\tfrac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}},\,B:={\tfrac {|g(x)|}{\|g\|_{q}}}$ ein. Integration liefert

{\frac {1}{\|f\|_{p}\|g\|_{q}}}\int _{S}|fg|\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,

was die Höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der Verallgemeinerung

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über $m$ geführt. Der Fall $m=1$ ist trivial. Sei also nun $m\geq 2$ und ohne Einschränkung sei $p_{1}\leq \cdots \leq p_{m}$ . Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: $p_{m}=\infty .$ Dann ist $\textstyle {\frac {1}{r}}=\sum _{j=1}^{m-1}{\frac {1}{p_{j}}}.$ Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

\|f_{1}\cdots f_{m}\|_{r}\leq \|f_{m}\|_{\infty }\|f_{1}\cdots f_{m-1}\|_{r}\leq \|f_{m}\|_{\infty }\|f_{1}\|_{p_{1}}\cdots \|f_{m-1}\|_{p_{m-1}}.

Fall 2: $p_{m}<\infty$ . Nach der (üblichen) Hölderschen Ungleichung für die Exponenten ${\tfrac {p_{m}}{p_{m}-r}},{\tfrac {p_{m}}{r}}$ gilt

\int _{S}|f_{1}\cdots f_{m-1}|^{r}|f_{m}|^{r}\mathrm {d} \mu \leq \left(\int _{S}|f_{1}\cdots f_{m-1}|^{\frac {rp_{m}}{p_{m}-r}}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {p_{m}-r}{p_{m}}}\left(\int _{S}|f_{m}|^{p_{m}}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {r}{p_{m}}},

also $\textstyle \|f_{1}\cdots f_{m}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{m-1}\|_{\tfrac {rp_{m}}{p_{m}-r}}\|f_{m}\|_{p_{m}}$ . Nun ist $\textstyle \sum _{j=1}^{m-1}{\frac {1}{p_{j}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{m}}}={\frac {p_{m}-r}{rp_{m}}}$ . Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten Hölderschen Ungleichung

Die umgekehrte Höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) Hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten $p:=r$ und $q:=r'={\tfrac {p}{p-1}}$ wählt. Man erhält damit:

\int _{S}|f|^{\frac {1}{r}}\mathrm {d} \mu =\int _{S}\left(|fg|^{\frac {1}{r}}\cdot |g|^{-{\frac {1}{r}}}\mathrm {d} \mu \right)\leq \left(\int _{S}|fg|\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{r}}\left(\int _{S}|g|^{-{\frac {r'}{r}}}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{r'}}.

Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit $r$ liefert die umgekehrte Höldersche Ungleichung.

Anwendungen

Beweis der Minkowski-Ungleichung

Mit der Hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im $L^{p}$ ) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen

Seien $f\in L^{p_{0}}(S)\cap L^{p_{1}}(S)$ und $1\leq p_{1}\leq p\leq p_{0}$ , dann folgt $f\in L^{p}(S)$ und es gilt die Interpolationsungleichung

\|f\|_{p}\leq \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta }\|f\|_{p_{1}}^{\theta }

mit ${\tfrac {1}{p}}=:{\tfrac {1-\theta }{p_{0}}}+{\tfrac {\theta }{p_{1}}}$ beziehungsweise $\theta :={\tfrac {p_{1}}{p}}{\tfrac {p_{0}-p}{p_{0}-p_{1}}}$ für $p_{0}\neq p_{1}$ .

Beweis: Ohne Einschränkung sei $p_{1}<p<p_{0}$ . Dies erkennt man durch ausführliche Fallunterscheidung. Fixiere $\lambda \in (0,1)$ mit $p=\lambda p_{0}+(1-\lambda )p_{1}$ . Dies ist möglich, da $p_{0}<p<p_{1}$ und $p$ somit auf der Verbindungsstrecke zwischen $p_{0}$ und $p_{1}$ liegt. Beachte, dass ${\tfrac {1}{\lambda }}$ und ${\tfrac {1}{1-\lambda }}$ konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der Hölderschen Ungleichung folgt

\int _{S}|f|^{p}\mathrm {d} \mu =\int _{S}|f|^{\lambda p_{0}}|f|^{(1-\lambda )p_{1}}\mathrm {d} \mu \leq \left(\int _{S}|f|^{p_{0}}\mathrm {d} \mu \right)^{\lambda }\left(\int _{S}|f|^{p_{1}}\mathrm {d} \mu \right)^{1-\lambda }

.

Potenzieren der Ungleichung mit ${\tfrac {1}{p}}$ und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Beweis der Faltungsungleichung von Young

Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

\|f\star g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}

für ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1+{\tfrac {1}{r}}$ und $p,q,r\geq 1$ .

Literatur

Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

Einzelnachweise

↑ Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277.

[1] Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277.

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