Die Erdős-Borwein-Konstante, benannt nach Paul Erdős und Peter Borwein, ist eine mathematische Konstante. Sie ist als die Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen definiert:

(Folge A065442 in OEIS)

Folgende Darstellungen sind dazu äquivalent:

wobei σ₀(n) = d(n) die Teileranzahl ist (Anzahl der positiven Teiler von n). Um die Äquivalenz zu beweisen, beachte man, dass alle Summen als Lambert-Reihen ausgedrückt und dann umsummiert werden können.

Die Konstante wurde bereits 1749 von Euler betrachtet.^[1] Erdős zeigte 1948, dass E eine irrationale Zahl ist.^[2] Borwein zeigte 1992, dass allgemein

    und    

für jede ganze Zahl q ≠ 0, ±1 und jede rationale Zahl r ≠ 0, qⁿ irrational, aber nicht liouvillesch sind.^[3]

• Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 355 und 357 (englisch)

• Eric W. Weisstein: Erdős-Borwein Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A038631 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von E)

1. ↑ Leonhard Euler: Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae. (19. Juni 1749/26. Januar 1750), Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 3, 1753, S. 86–108 (lateinisch; „s=1,606695152415291“ auf S. 108)
2. ↑ Paul Erdős: On arithmetical properties of Lambert series (8. Juli 1948). In: The Journal of the Indian Mathematical Society, 12, 1948, S. 63–66 (englisch)
3. ↑ Peter B. Borwein: On the irrationality of certain series. (PDF; 3,4 MB) 11. Dezember 1991. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 112, 1992, S. 141–146 (englisch)