Ingenieurperspektive

Die Ingenieurperspektive (auch Ingenieur-Axonometrie, Ingenieurprojektion, Ingenieurriss, Dimetrie, dimetrische Projektion, technische Zeichnung in Axonometrie, englisch: dimetric axonometry, dimetric projection) ist eine spezielle Parallelperspektive (Axonometrie). Die Verzerrungen der Linien parallel zu den Achsen sind mit v_x = 0,5 und v_y = v_z = 1 (Dimetrie) festgelegt und die Winkel zwischen den drei Raumachsen betragen α = γ = 132° und β = 97° (bzw. 7° und 42° zur Waagerechten).^[1] Die Ingenieurperspektive ist durch die Norm ISO 5456-3:1996(E)^[2] festgelegt.

Beschreibung

Geodreieck mit Markierungen für Ingenieurperspektive.

Grundlage der Ingenieurperspektive ist, dass sich die Verkürzungsverhältnisse der Strecken parallel zu den Achsen x, y, und z wie ½ : 1 : 1 verhalten. Sucht man die entsprechenden Achsenwinkel, stellt sich heraus, dass bei senkrechter z-Achse die x-Achse um 42° und die y-Achse um 7° von der Horizontalen abweicht.^[3]^[4]

Vor- und Nachteile

Vorteile sind:

Durch die einfachen Verzerrungsverhältnisse ist die Konstruktion relativ leicht zu erstellen.
Die notwendigen Winkel von 7° und 42° sind auf vielen Geodreiecken markiert.
Der Umriss einer Kugel ist in guter Näherung ein Kreis (bei der Kavalier- und Militärperspektive ist er eine Ellipse).^[5]
Das Bild ist fast eine senkrechte Parallelprojektion mit dem Skalierungsfaktor 1,06. Deshalb ist die Bildwirkung anschaulich und Maßverhältnisse sind leicht ablesbar.

Nachteile sind:

Die Formen des Grundrisses und der Seitenrisse sind verzerrt dargestellt.
Die Darstellung wirkt weniger realistisch, da kein Fluchtpunkt (wie bei der Fluchtpunktperspektive) vorhanden ist.

Mathematischer Hintergrund

Eine Ingenieur-Axonometrie entspricht einer senkrechten Parallelprojektion auf eine Ebene mit dem Normalenvektor (= negativer Projektionsrichtung) $({\sqrt {7}},1{,}1)^{\top }$ mit anschließender Skalierung um den Faktor ${\tfrac {3}{2{\sqrt {2}}}}\approx 1{,}061$ . Der Grundriss des Normalenvektors schließt mit der x-Achse einen Winkel von $\arccos \left({\tfrac {\sqrt {7}}{2{\sqrt {2}}}}\right)\approx 20{,}70^{\circ }$ ein. Der Winkel gegenüber der x-y-Ebene beträgt $\arccos \left({\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)\approx 19{,}47^{\circ }$ . Die exakten Winkel zwischen den Bildern der Koordinatenachsen sind:

${\begin{aligned}\alpha &=\arccos \left(-{\tfrac {\sqrt {7}}{4}}\right)&\approx 131{,}4^{\circ }\approx 2{,}294\\\beta &=\arccos \left(-{\tfrac {1}{8}}\right)&\approx 97{,}18^{\circ }\approx 1{,}696\end{aligned}}$

Für die (dimetrische) senkrechte Parallelprojektion mit $v_{y}=v_{z}=2v_{x}$ (ohne Skalierung!) gilt:

${\begin{aligned}v_{x}&={\tfrac {\sqrt {2}}{3}}&\approx 0{,}471\\v_{y}=v_{z}&={\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}&\approx 0{,}942\end{aligned}}$ .

Einzelnachweise

↑ Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9.
↑ Technical drawings – Projection methods – Part 3: Axonometric representations 5.2 Dimetric axonometry. In: International standard ISO 5456-3:1996(E), S. 3 und 4. 15. Juni 1996, abgerufen am 29. September 2024 (englisch).
↑ Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag / Elsevier GmbH, München 2007, ISBN 978-3-8274-1797-8, S. 365.
↑ Anmerkung: Wegen der räumlichen Verschiebung gegenüber dem rechtwinkligen Achsengerüst 90º / 90º / 90º sind die Winkel nicht einfach 108º / 54º / 108º, sondern komplizierter zu berechnen.
↑ Erich Hartmann: Darstellende Geometrie für Bauingenieure. S. 8. Technische Universität Darmstadt, 2015, abgerufen am 8. August 2024 (deutsch).

[1] Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9.

[2] Technical drawings – Projection methods – Part 3: Axonometric representations 5.2 Dimetric axonometry. In: International standard ISO 5456-3:1996(E), S. 3 und 4. 15. Juni 1996, abgerufen am 29. September 2024 (englisch).

[3] Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag / Elsevier GmbH, München 2007, ISBN 978-3-8274-1797-8, S. 365.

[4] Anmerkung: Wegen der räumlichen Verschiebung gegenüber dem rechtwinkligen Achsengerüst 90º / 90º / 90º sind die Winkel nicht einfach 108º / 54º / 108º, sondern komplizierter zu berechnen.

[5] Erich Hartmann: Darstellende Geometrie für Bauingenieure. S. 8. Technische Universität Darmstadt, 2015, abgerufen am 8. August 2024 (deutsch).

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