Datei:Mandelbrot-Iterate-02.jpg

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Mandelbrot-Iterate-02.jpg (400 × 350 Pixel, Dateigröße: 6 KB, MIME-Typ: image/jpeg)

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Beschreibung

English: The diagram shows the part of the complex plane ranging from –2.2 to 1 on the real axis (horizontal) and from –1.4i to 1.4i on the imaginary axis (vertical). The color for a point

c

in the plane is the color coded value of the function

f_{c}^{\,n}(0)\quad {\text{ for }}n=2\quad {\text{ and }}f_{c}(z)=z^{2}+c

Note that the exponent refers to $f$ as a function and not to its value, i.e. $f$ ${}^{n}$ denotes n-fold applying $f$ :

f^{\,n}=f\circ f\circ \cdots \circ f

So $f$ ${}^{n}$ is an element of the sequence

{\begin{aligned}f_{c}^{\,0}\,:\;z&\mapsto z\\f_{c}^{\,1}\,:\;z&\mapsto z^{2}+c\\f_{c}^{\,2}\,:\;z&\mapsto (z^{2}+c)^{2}+c\\f_{c}^{\,3}\,:\;z&\mapsto ((z^{2}+c)^{2}+c)^{2}+c\\&\;\;\vdots \end{aligned}}

For

n>0

, the function

f_{c}^{n}(0)

is a polynomial of degree

2^{n-1}

in

c

. Therefore, it has

2^{n-1}

zeros in the complex plane. It turns out that all zeros are distinct. Moreover, the zeros are located in a disc around the origin whose diamater does not depend on

n

.

Deutsch: Das Diagramm zeigt einen Teil der komplexen Zahlen mit Realteil zwischen –2.2 to 1 (horizontal) und Imaginärteil zwischen –1.4i und 1.4i (vertikal).

Die Farbe eines Punktes $c$ der Ebene ist der farbcodierte Wert der Funktion

f_{c}^{\,n}(0)\quad {\text{ mit }}n=2\quad {\text{ und }}f_{c}(z)=z^{2}+c

Hierbei bezieht sich der Exponent auf $f$ als Funktion und nicht auf deren Funktionswert, d.h. $f$ ${}^{n}$ steht für die n-fache Hintereinanderausführung von $f$ :

f^{\,n}=f\circ f\circ \cdots \circ f

Es ist $f$ ${}^{n}$ also ein Glied der Folge

{\begin{aligned}f_{c}^{\,0}\,:\;z&\mapsto z\\f_{c}^{\,1}\,:\;z&\mapsto z^{2}+c\\f_{c}^{\,2}\,:\;z&\mapsto (z^{2}+c)^{2}+c\\f_{c}^{\,3}\,:\;z&\mapsto ((z^{2}+c)^{2}+c)^{2}+c\\&\;\;\vdots \end{aligned}}

Für

n>0

ist die Funktion

f_{c}^{n}(0)

ein Polynom vom Grade

2^{n-1}

in

c

. Somit hat die Funktion

2^{n-1}

Nullstellen, die alle verschieden sind. Zudem liegen alle Nullstellen in einem Kreis, dessen Größe unabhängig von

n

ist.

Datum

24. März 2008

Quelle

Self made using a throw-away C program

Urheber

Georg-Johann Lay

Genehmigung
(Weiternutzung dieser Datei)

Ich, der Urheberrechtsinhaber dieses Werkes, veröffentliche es als gemeinfrei. Dies gilt weltweit.
In manchen Staaten könnte dies rechtlich nicht möglich sein. Sofern dies der Fall ist:
Ich gewähre jedem das bedingungslose Recht, dieses Werk für jedweden Zweck zu nutzen, es sei denn, Bedingungen sind gesetzlich erforderlich.

Images of the sequence for n=1...20

n=1 (color map)	n=2	n=3	n=4	n=5
n=6	n=7	n=8	n=9	n=10
n=11	n=12	n=13	n=14	n=15
n=16	n=17	n=18	n=19	n=20

English: From step to step the number of zeros (white) is doubling. The zeros are "chaotically" scattered around in a disc whose diameter does not depend on

n

. For values of

c

that belong the the Mandelbrot set

M

, the sequence

f_{c}^{1}(0),\;f_{c}^{2}(0),\;f_{c}^{3}(0),\,\ldots

is bounded. For values not in $M$ the sequence tends to infinity (black).

Values of

c

located in the body of

M

— the big cardioid — lead to sequences that converge to a definite complex number. In other words, these values converge to a cycle of period 1. Values in the head of

M

— the big circle at the left of the body — tend to periodoc cycles of period 2. This can be seen in the sequence of images, because the head changes its color from bright to dark and vice versa from step to step. Values located in the small bulbs — the hands symetrically arranged to the body — tend to periodic cycles of period 3 and so on.

Deutsch: Von Schritt zu Schritt verdoppelt sich die Anzahl der Nullstellen (weiß). Die Nullstellen sind "chaotisch" verstreut in einem begrenzten Gebiet, dessen Größe nicht von

n

abhängt. Für Werte

c

in der Mandelbrot-Mengem

M

sind die Folgen

f_{c}^{1}(0),\;f_{c}^{2}(0),\;f_{c}^{3}(0),\,\ldots

beschränkt. Für Werte ausserhalb von $M$ streben die Folgen gegen Unendlich (schwarz).

Werte im Körper von $M$ — dem Zykloid — führen zu konvergenten Folgen. Mit anderen Worten: die zugehörigen Folgewerte konvergieren gegen periodische Zykel der Länge 1.

Werte im Kopf von

M

— dem großen Kreis links am Körper — streben gegen periodische Zykel der Länge 2. Dies sieht man daran, daß der Kopf mit jeden Bild seine Farbe von hell nach dunkel wechselt. Werte in den Ärmchen — den grösseren Kreisen links und rechts des Körpers — führen zu Folgen, deren Grenzzyklen Periode 3 hat, usw.

Coloring complex numbers

English: To color a complex value, the function described in ^[1] is used with the parameters

{\begin{aligned}a_{s}=0.6&,\,b_{s}=0.5\\a_{v}=0.4&,\,b_{v}=0.3\\\end{aligned}}

and with S and V interchanged. Zeros turn to white and infinity to black.

Deutsch: Zum Färben komplexer Zahlen verwende ich die Methode wie beschrieben in^[1] mit den Parametern

{\begin{aligned}a_{s}=0.6&,\,b_{s}=0.5\\a_{v}=0.4&,\,b_{v}=0.3\\\end{aligned}}

und mit vertauschten Rollen von S und V. Die Null wird zu Weiß und Unendlich zu Schwarz.

References

↑ Visualising complex functions

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aktuell	15:15, 24. Mär. 2008		400 × 350 (6 KB)	Georg-Johann	{{Information \|Description= {{en\| The diagram shows the part of the complex plane ranging from –2.2 to 1 on the real axis (horizontal) and from –1.4i to 1.4i on the imaginary axis (vertical). The color for a point <math>c</math> in the plane is t

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[1] Visualising complex functions

[1]

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Images of the sequence for n=1...20

Coloring complex numbers

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