Chi-Verteilung

Die Chi-Verteilung bzw. $\chi$ -Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Chi-Verteilung hat einen Parameter, die Anzahl der Freiheitsgrade $\nu$ . Sie hängt eng mit der Chi-Quadrat-Verteilung zusammen.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion

f_{\nu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{(\nu /2)-1}\Gamma (\nu /2)}}x^{\nu -1}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}&{\text{für}}\ x>0\\0&{\text{sonst}}\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

heißt chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden für jeden positiven Parameter $\nu$ .^[1] Dabei bezeichnet $\Gamma$ die Gammafunktion. Die Verteilung der Zufallsvariablen heißt Chi-Verteilung mit $\nu$ Freiheitsgraden.

Häufig wird die Chi-Verteilung nur für einen ganzzahligen Parameter $\nu \in \mathbb {N}$ definiert.^[2]

Eigenschaften

Wenn $C_{\nu }$ Chi-quadrat-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden ist, dann ist ${\sqrt {C_{\nu }}}$ Chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden.
Wenn $X_{\nu }$ Chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden ist, dann ist $X_{\nu }^{2}$ Chi-quadrat-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden.
$X_{\nu }$ sei Chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden, dann gilt $P(X_{\nu }>0)=1$ , der Erwartungswert ist

\mathbb {E} [X_{\nu }]={\sqrt {2}}{\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}

und die Varianz ist

\mathbb {Var} [X_{\nu }]=\nu -2\left({\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}\;.

^[3]

Wenn $Z$ standardnormalverteilt ist, dann ist $|Z|$ Chi-verteilt mit einem Freiheitsgrad.

Beispiele

Die Chi-Verteilung mit $\nu =1$ Freiheitsgrad ist ein Spezialfall der Halbnormalverteilung (half-normal distribution).^[4]^[5]
Die Chi-Verteilung mit $\nu =2$ Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Rayleigh-Verteilung.
Die Chi-Verteilung mit $\nu =3$ Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Maxwell-Boltzmann-Verteilung.
Wenn $Z$ standardnormalverteilt ist, dann ist die auf $[0,\infty )$ gestutzte Verteilung eine Chi-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.

Literatur

Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions – Volume 1 (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). 2. Auflage. Wiley, New York 1994, ISBN 0-471-58495-9, Kap. 18 Chi-Square Distributions, Including Chi and Rayleigh, S. 415–493.
P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, χ-Verteilung (χ-distribution), S. 58.
Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 322, Nr. 1.

Einzelnachweise

↑ Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 417.
↑ P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik. S. 58.
↑ Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 421.
↑ Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 305, Nr. 10.
↑ Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions – Volume 1 (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). 2. Auflage. Wiley, New York 1994, ISBN 0-471-58495-9, S. 156.

[1] Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 417.

[2] P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik. S. 58.

[3] Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 421.

[4] Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 305, Nr. 10.

[5] Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions – Volume 1 (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). 2. Auflage. Wiley, New York 1994, ISBN 0-471-58495-9, S. 156.

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