Cap-Produkt

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert das Cap-Produkt eine Verknüpfung zwischen Kohomologie und Homologie eines Raumes.

Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum, sei $C_{n}(X)$ die $n$ -te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard- $n$ -Simplexes $\Delta ^{n}$ nach $X$ und $C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),\mathbb {Z} )$ . Man bezeichne mit $\iota _{0\ldots p}\colon \Delta ^{p}\rightarrow \Delta ^{p+q}$ beziehungsweise $\iota _{p\ldots p+q}\colon \Delta ^{q}\rightarrow \Delta ^{p+q}$ die Inklusionen des Standard- $p$ - beziehungsweise $q$ -Simplexes als „vordere $p$ -dimensionale Seite“ beziehungsweise „hintere $q$ -dimensionale Seite“ in den Standard- $(p+q)$ -Simplex.

Für $\psi \in C^{q}(X)$ und einen singulären Simplex $\sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X$ (mit $p\geq q$ ) definiert man

\sigma \frown \psi :=(-1)^{pq}\psi (\sigma \circ \iota _{0\ldots q})\sigma \circ \iota _{q\ldots p}

und setzt dies linear zu einer Abbildung

C^{q}(X)\times C_{p}(X)\rightarrow C_{p-q}(X)

fort.

Allgemeiner sei $R$ ein Ring und sei $C_{n}(X;R)=C_{n}(X)\otimes _{\mathbb {Z} }R,C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),R)$ . Dann erhält man eine Abbildung

C^{q}(X;R)\times C_{p}(X;R)\rightarrow C_{p-q}(X;R)

.

Aus der Relation

\partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi )

folgt, dass das Cap-Produkt eine wohldefinierte Abbildung

H^{q}(X;R)\times H_{p}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)

definiert.

Eigenschaften

Für stetige Abbildungen $f:X\rightarrow Y$ gilt

f_{*}(c)\frown \psi =f_{*}(c\frown f^{*}(\psi ))

mit $c\in C_{p}(X;R)$ , $\psi \in C^{q}(Y;R)$ .

Das Cap-Produkt hängt mit dem Cup-Produkt über die folgende Gleichung zusammen:

\psi (c\frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(c)

für $c\in C_{p}(X;R)$ , $\psi \in C^{q}(X;R)$ , $\varphi \in C^{p-q}(X;R).$

Anwendung: Poincaré-Dualität

Sei $M$ eine geschlossene, orientierbare $n$ -Mannigfaltigkeit und

\left[M\right]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )

die Fundamentalklasse. Dann realisiert das Cap-Produkt mit $\left[M\right]$ einen Isomorphismus

H^{k}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )

für $k=0,\ldots ,n$ .

Literatur

Glen Bredon: Topology and geometry. Corrected third printing of the 1993 original. Graduate Texts in Mathematics, 139. Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-97926-3
Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0.
Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X

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