Zellkomplex

Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.^[1]

Definition

Eine $k$ -Zelle ist ein topologischer Raum, der zu $B^{k}:=[0,1]^{k}$ homöomorph ist. Eine offene $k$ -Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von $B^{k}$ homöomorph ist. $k$ nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum $X$ , der in offene Zellen $(c_{i})_{i\in I}$ zerfällt, wobei gilt:

zu jeder $k$ -Zelle $c_{i}\subseteq X$ existiert eine stetige Abbildung $f_{i}:B^{k}\rightarrow X$ so dass das Innere von $B^{k}$ homöomorph auf $c_{i}$ und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension $<k$ abgebildet wird. ( $f_{i}$ heißt die charakteristische Abbildung der Zelle $c_{i}$ .)
$M\subseteq X$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M\cap f_{i}(B^{k})$ für alle $i\in I$ abgeschlossen ist.

Das $k$ -Gerüst eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimensionen $\leq k$ .

Ein endlicher CW-Komplex ist ein CW-Komplex aus endlich vielen Zellen.

Eigenschaften

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.

Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.

Beispiele

Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
Jede offene sternförmige Teilmenge des $\mathbb {R} ^{k}$ ist ein k-Zelle.^[2]
$\mathbb {R}$ ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen $c_{i}=(i,i+1)$ und die charakteristischen Abbildungen $f_{i}:[0,1]\to \mathbb {R} ,x\mapsto i+x$ .

Zelluläre Abbildungen

Das $n$ -Gerüst $K_{n}$ eines CW-Komplexes $K$ ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension $\leq n$ .

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung $f\colon K\to L$ , die jede $n$ -Zelle von $K$ in das $n$ -Gerüst von $L$ abbildet. (Dabei müssen $n$ -Zellen nicht notwendig auf $n$ -Zellen abgebildet werden.)

Siehe auch

Abstrakter Zellkomplex

Literatur

Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2010, ISBN 978-0-521-79540-1, S. 5ff., S. 102ff., S. 106ff
D.O. Baladze: CW-complex. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id

Einzelnachweise

↑ J. H. C. Whitehead: Combinatorial homotopy, Bull. Amer. Math. Soc., Band 55, 1949, 213–245 (Teil 1), S. 453–496 (Teil 2)
↑ Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-21393-2, S. 116.

[1] J. H. C. Whitehead: Combinatorial homotopy, Bull. Amer. Math. Soc., Band 55, 1949, 213–245 (Teil 1), S. 453–496 (Teil 2)

[2] Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-21393-2, S. 116.

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