In der Zahlentheorie ist eine ausbalancierte Primzahl (vom englischen balanced prime) eine Primzahl , welche exakt zwischen der vorherigen Primzahl und der nachfolgenden Primzahl liegt. Es gilt also für das arithmetische Mittel:

• Die 16. Primzahl ist . Ihre Primzahlnachbarn sind und . Das arithmetische Mittel dieser beiden Nachbarn ist . Somit ist eine ausbalancierte Primzahl.
• Die kleinsten ausbalancierten Primzahlen sind die folgenden:

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393, … (Folge A006562 in OEIS)

• Die größte bekannte ausbalancierte Primzahl ist die folgende Primzahl:^[1]

Sie hat Stellen und wurde im Jahr 2014 von David Broadhurst mit den Programmen PrimeForm und Primo entdeckt. Ihre Primzahlnachbarn sind und . Es ist aber (siehe Primzahlsatz) noch nicht bekannt, man weiß also noch nicht, die wievielte Primzahl ist.

Vergleicht man eine Primzahl mit dem arithmetischen Mittel ihrer Primnachbarn und , so erhält man folgende Typen:

• Ist , so nennt man starke Primzahl.

Sie liegt näher an der nächsten Primzahl als an der vorherigen Primzahl .

• Ist , so nennt man ausbalancierte Primzahl (vom englischen balanced prime).

Sie liegt exakt zwischen der nächsten Primzahl und der vorherigen Primzahl .

• Ist , so nennt man schwache Primzahl (vom englischen weak prime, nicht zu verwechseln mit dem namensgleichen Begriff „schwache Primzahl“ (vom englischen weakly prime)).

Sie liegt näher an der vorherigen Primzahl als an der nächsten Primzahl .

• In einer arithmetischen Primzahlfolge mit drei Primzahlen ist eine ausbalancierte Primzahl (definitionsbedingt) die zweite Primzahl.

• Es wird vermutet, dass es unendlich viele ausbalancierte Primzahlen gibt.

Eine ausbalancierte Primzahl der Ordnung k ist eine Primzahl , welche gleich dem arithmetischen Mittel der benachbarten Primzahlen darunter und darüber ist. Mit anderen Worten:

• Die 2931. Primzahl ist . Ihre kleineren Primzahlnachbarn sind und , die größeren Primzahlnachbarn sind und . Das arithmetische Mittel dieser insgesamt acht benachbarten Primzahlen ist

Somit ist eine ausbalancierte Primzahl der Ordnung .

• Die kleinsten ausbalancierten Primzahlen der Ordnung sind die Primzahlen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, … (Folge A000040 in OEIS)

• Die kleinsten ausbalancierten Primzahlen der Ordnung sind die folgenden:

79, 281, 349, 439, 643, 677, 787, 1171, 1733, 1811, 2141, 2347, 2389, 2767, 2791, 3323, 3329, 3529, 3929, 4157, 4349, 4751, 4799, 4919, 4951, 5003, 5189, 5323, 5347, 5521, 5857, 5861, 6287, 6337, 6473, 6967, 6997, 7507, 7933, 8233, 8377, 8429, 9377, 9623, 9629, 10093, 10333, … (Folge A082077 in OEIS)

• Die kleinsten ausbalancierten Primzahlen der Ordnung sind die folgenden:

17, 53, 157, 173, 193, 229, 349, 439, 607, 659, 701, 709, 977, 1153, 1187, 1301, 1619, 2281, 2287, 2293, 2671, 2819, 2843, 3067, 3313, 3539, 3673, 3727, 3833, 4013, 4051, 4517, 4951, 5101, 5897, 6079, 6203, 6211, 6323, 6679, 6869, 7321, 7589, 7643, 7907, … (Folge A082078 in OEIS)

• Die kleinsten ausbalancierten Primzahlen der Ordnung sind die folgenden:

491, 757, 1787, 3571, 6337, 6451, 6991, 7741, 7907, 8821, 10141, 10267, 10657, 12911, 15299, 16189, 18223, 18701, 19801, 19843, 19853, 19937, 21961, 22543, 22739, 22807, 23893, 23909, 24767, 25169, 25391, 26591, 26641, 26693, 26713, … (Folge A082079 in OEIS)

• Die kleinsten ausbalancierten Primzahlen der Ordnung mit sind die folgenden:

2, 5, 79, 17, 491, 53, 71, 29, 37, 983, 5503, 173, 157, 353, 5297, 263, 179, 383, 137, 2939, 2083, 751, 353, 5501, 1523, 149, 4561, 1259, 397, 787, 8803, 8803, 607, 227, 3671, 17443, 57097, 3607, 23671, 12539, 1217, 11087, 1087, 21407, 19759, 953, … (Folge A082080 in OEIS)

Beispiel:

In obiger Liste ist an der 10. Stelle die Zahl . Somit ist (die 166. Primzahl) die kleinste ausbalancierte Primzahl der Ordnung . Tatsächlich ist .

• Jede ausbalancierte Primzahl ist (definitionsbedingt) eine ausbalancierte Primzahl der Ordnung .

1. ↑ Jens Kruse Andersen: The Largest Known CPAP's. Abgerufen am 6. Juli 2018 (englisch). 

• balanced prime. In: PlanetMath. (englisch)
• Chris K. Caldwell: balanced prime. The Prime Glossary, abgerufen am 6. Juli 2018 (englisch). 
• Giovanni Resta: balanced primes. Numbers Aplenty, abgerufen am 6. Juli 2018 (englisch).